如图，直线y=-x+b与反比例函数y=kx的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围

Question

如图，直线y=-x+b与反比例函数y=(k)/(x)的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．

（1）求k和b的值；
（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；
（3）在y轴上是否存在一点P，使S_△PAC=(2)/(5)S_△AOB？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）将A（1，4）分别代入y=-x+b和y=(k)/(x)
得：4=-1+b，4=(k)/(1)，解得：b=5，k=4；

（2）一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x>4或0<x<1，

（3）过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，
由（1）知，b=5，k=4，
∴直线的表达式为：y=-x+5，反比例函数的表达式为：y=(4)/(x)
由-x+5=(4)/(x)，解得：x=4，或x=1，
∴B（4，1），
∴S△AOB=S四边形ANMB=(1)/(2)(AN+BM)MN=(1)/(2)(1+4)×3=(15)/(2)，
∵S△PAC=(2)/(5)S△AOB，
∴S△PAC=(2)/(5)×(15)/(2)=3，
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P（0，t），
∴S_△PAC=(1)/(2)OP•CD+(1)/(2)OP•AE=(1)/(2)OP（CD+AE）=|t|=3，
解得：t=3，t=-3，
∴P（0，3）或P（0，-3）．