求解一道高斯函数!求证[x]+[x+1/n]+.+[x+(n-1)/n]=[nx]

Question

求解一道高斯函数!求证[x]+[x+1/n]+.+[x+(n-1)/n]=[nx]

Answer 1

设x=[x]+{x},其中{x}是x的小数部分
由于{x}是x的小数部分,所以必然存在整数k满足0<=k<=n-1,使得k/n<={x}由于x=[x]+{x},所以带入原式中得到
[[x]+{x}]+[[x]+{x}+1/n]+.+[[x]+{x}+(n-1)/n]=[n[x]+n{x}]
将整数部分提取出来得到
n[x]+[{x}]+[{x}+1/n]+.+[{x}+(n-1)/n]=n[x]+[n{x}]
所以只需证明[{x}+1/n]+.+[{x}+(n-1)/n]=[n{x}]
由于k/n<={x}只需证明[{x}+1/n]+[{x}+2/n]+...[{x}+i/n]+.+[{x}+(n-1)/n]=k
显然当n-1>=i>=n-k时[{x}+i/n]=1,而满足n-1>=i>=n-k的i的数量为(n-1)-(n-k)+1=k
所以[{x}+1/n]+[{x}+2/n]+...[{x}+i/n]+.+[{x}+(n-1)/n]=k
所以...