证明：2ln(n+1)-2＜1+1/2+1/3+……+1/n要求：不能用数学归纳法.上面的题错了不用证明了，证明下面这道1+1/2+2/(2²+1)+3/(3²+1)+……+n/(n²+1)＞ln(n+1)

Question

证明：2ln(n+1)-2＜1+1/2+1/3+……+1/n
要求：不能用数学归纳法.
上面的题错了不用证明了，证明下面这道
1+1/2+2/(2²+1)+3/(3²+1)+……+n/(n²+1)＞ln(n+1)

Answer 1

这个结果不对吧.
实际上1+1/2+1/3+...+1/n-ln(n) → 欧拉常数γ ≈ 0.577216.
但是2ln(n+1)-2 < ln(n)+γ对充分大的n是不能成立的.
倒是可以证明ln(n+1) < 1+1/2+1/3+...+1/n.
因为对x > 0, 有ln(1+x) < x.
代入x = 1/k得ln(k+1)-ln(k) = ln(1+1/k) < 1/k.
对k = 1, 2,..., n求和即得ln(n+1) = ln(n+1)-ln(1) < 1+1/2+1/3+...+1/n.