如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，点N位于AB上．（Ⅰ）问当ANNB为何值时，MN⊥MC1（Ⅱ）当N为AB中点时，求直线NC1与平面ABB1A1所成角的正切值．

Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点，点N位于AB上．
（Ⅰ）问当(AN)/(NB)为何值时，MN⊥MC₁
（Ⅱ）当N为AB中点时，求直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）连接MB₁，NB₁，∵C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，∴C₁B₁⊥MN，若MN⊥MC₁，则MN⊥平面MC₁B₁⇒MN⊥MB₁，
在平面ABB₁A₁内，设正方体的棱长为1，AN=x，由于MN²+MB₁²=NB₁²，
可得：x2+(1)/(4)+1+(1)/(4)＝(1−x)2+1⇒x＝(1)/(4)，故(AN)/(NB)＝(1)/(3)．…（8分）
（Ⅱ）连接NC₁，NB₁∵C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，
知∠C₁NB₁即为直线NC₁与平面ABB₁A₁所成角．设正方体的棱长为1，
在△NB₁C₁中，∵NB1＝(√(5))/(2)∴tan∠C1NB1＝(C1B1)/(NB1)＝(2√(5))/(5)…（15分）