已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN=90°，点M、N分别在直线BC、DC上，（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+13BM=12BC；（2）如图2，当Q为线段OB的中

Question

已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN=90°，点M、N分别在直线BC、DC上，
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+(1)/(3)BM=(1)/(2)BC；
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为

BM−(1)/(3)DN＝(1)/(2)BC

BM−(1)/(3)DN＝(1)/(2)BC

；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC=3：1，NQ=9√(5)，求EF的长．

Answer 1

（1）如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ．
∴∠DPQ=∠DBC，
∴△QPN∽△QBM，
∴(NP)/(MB)＝(PQ)/(QB)．
∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=(1)/(2)DC
∴BQ=3DQ．DN+NP=(1)/(2)BC，
∴BQ=3PQ，
∴(NP)/(MB)＝(1)/(3)，
∴NP=(1)/(3)BM．
∴DN+(1)/(3)BM=(1)/(2)BC．

（2）如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°．
∵∠COB=45°，
∴QH∥OC．
∵Q是OB的中点，
∴BH=CH=(1)/(2)BC．
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴(HM)/(ND)＝(QH)/(DQ)＝(QM)/(NQ)＝(1)/(3)，
∴HM=(1)/(3)ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM−(1)/(3)DN＝(1)/(2)BC．
故答案为：BM−(1)/(3)DN＝(1)/(2)BC

（3）∵MB：MC=3：1，设CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴PB=2x，
∴PM=x．
∵HM=(1)/(3)ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x
∵四边形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴(ND)/(CN)＝(DE)/(CM)＝(NE)/(NM)，(DE)/(BM)＝(EF)/(FM)，
∴(3x)/(7x)＝(DE)/(x)，(NE)/(NM)＝(3)/(7)
∴DE=(3)/(7)x，
∴

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