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求同时满足下列三个条件的自然数a,b:(1)a>b;(2)aba+b=169;(3)a+b是平方数.

题目详情
求同时满足下列三个条件的自然数a,b:(1)a>b; (2)
ab
a+b
=169; (3)a+b是平方数.
▼优质解答
答案和解析
ab
a+b
=169,可得:
ab
169
=a+b,即ab=169a+169b,ab-169a=169b,
a=
169b
b−169
,a+b=
169b
b−169
+b=
b2
b−169

因为a+b是平方数,所以b-169是平方数,设b-169=n2,b=n2+169;
同理可得ab-169b=169a,b=
169a
a−169
,a+b=
169a
a−169
+a=
a2
a−169
,a-169是平方数,
设a-169=m2,a=m2+169;于是,a+b=m2+2×169+n2
2×169=2×13×13,或2×169=2×1×169,或2×169=2×169×1,
因为a>b,所以m>n,a+b是平方数,
所以,m=169,n=1,a=m2+169=1692+169=169×170,b=n2+169=12+169=170.