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求同时满足下列三个条件的自然数a,b:(1)a>b;(2)aba+b=169;(3)a+b是平方数.
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求同时满足下列三个条件的自然数a,b:(1)a>b; (2)
=169; (3)a+b是平方数.
ab |
a+b |
▼优质解答
答案和解析
由
=169,可得:
=a+b,即ab=169a+169b,ab-169a=169b,
a=
,a+b=
+b=
,
因为a+b是平方数,所以b-169是平方数,设b-169=n2,b=n2+169;
同理可得ab-169b=169a,b=
,a+b=
+a=
,a-169是平方数,
设a-169=m2,a=m2+169;于是,a+b=m2+2×169+n2.
2×169=2×13×13,或2×169=2×1×169,或2×169=2×169×1,
因为a>b,所以m>n,a+b是平方数,
所以,m=169,n=1,a=m2+169=1692+169=169×170,b=n2+169=12+169=170.
ab |
a+b |
ab |
169 |
a=
169b |
b−169 |
169b |
b−169 |
b2 |
b−169 |
因为a+b是平方数,所以b-169是平方数,设b-169=n2,b=n2+169;
同理可得ab-169b=169a,b=
169a |
a−169 |
169a |
a−169 |
a2 |
a−169 |
设a-169=m2,a=m2+169;于是,a+b=m2+2×169+n2.
2×169=2×13×13,或2×169=2×1×169,或2×169=2×169×1,
因为a>b,所以m>n,a+b是平方数,
所以,m=169,n=1,a=m2+169=1692+169=169×170,b=n2+169=12+169=170.
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