已知抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（32，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛

Question

已知抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（(3)/(2)，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=(1)/(2)AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过A（-2，0），B（0，2），C（(3)/(2)，0）三点，
∴

4a−2b+c＝0

(9)/(4)a+(3)/(2)b+c＝0

c＝2

，
解得

a＝−(2)/(3)

b＝−(1)/(3)

c＝2

，
∴y=-(2)/(3)x²-(1)/(3)x+2．

（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP=t．
①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2-t，AP=2+t．

∵BQ=(1)/(2)AP，
∴2-t=(1)/(2)（2+t），
∴t=(2)/(3)．
②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t-2，AP=2+t．

∵BQ=(1)/(2)AP，
∴t-2=(1)/(2)（2+t），
∴t=6．
综上所述，t=(2)/(3)或6时，BQ=(1)/(2)AP．

（3）当t=√(3)-1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3√(3)时，抛物线上存在点M（-3，-3）．
分析如下：
∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°，
∵∠QAO+∠AQO=90°，
∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，

∠AQO＝∠BPO

∠AOQ＝∠BOP＝90°

AO＝BO

，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，
∵直线y=x垂直平分PQ，
∴M在y=x上，设M（x，y），
∴

y＝x

y＝−(2)/(3)x2−(1)/(3)x+2

，
解得

x＝1

y＝1

 或

x＝−3

y＝−3

，
∴M点可能为（1，1）或（-3，-3）．
①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，

则有PD=|1-t|，MP²=1+|1-t|²=t²-2t+2，PQ²=2t²，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t²+2t-2=0，
∴t=-1+√(3)，t=-1-√(3)（负值舍去）．
②如图4，当M的坐标为（-3，-3）时，作ME⊥x轴于E，

则有PE=3+t，ME=3，
∴MP²=3²+（3+t）²=t²+6t+18，PQ²=2t²，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t²-6t-18=0，
∴t=3+3√(3)，t=3-3√(3)（负值舍去）．
综上所述，当t=-1+√(3)时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3√(3)时，抛物线上存在点M（-3，-3），使得△MPQ为等边三角形．