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(2014•门头沟区一模)已知关于x的一元二次方程x2-(5m+1)x+4m2+m=0.(1)求证:无论m取何实数时,原方程总有两个实数根;(2)若原方程的两个实数根一个大于3,另一个小于8,求m的取值
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754654-9762.jpg)
(1)求证:无论m取何实数时,原方程总有两个实数根;
(2)若原方程的两个实数根一个大于3,另一个小于8,求m的取值范围;
(3)抛物线y=-x2+(5m+1)x-4m2-m与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),现坐标系内有一矩形OCDE,如图,点C(0,-5),D(6,-5),E(6,0),当m取第(2)问中符合题意的最小整数时,将此抛物线上下平移|h|个单位,使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点,请结合图形写出h的取值或取值范围(直接写出答案即可).
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:△=[-(5m+1)]2-4×1×(4m2+m)
=9m2+6m+1
=(3m+1)2
∵(3m+1)2≥0,
∴无论m取何实数时,原方程总有两个实数根.
(2)解关于x的一元二次方程x2-(5m+1)x+4m2+m=0,
得 x1=m,x2=4m+1.
由题意得
或
解得
<m<8.
(3)h=5或-4<h<-9.
∵m取第(2)问中符合题意的最小整数是1,
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-5,
∴解析式y=-x2+6x-5的顶点为(3,4)
∵OC=ED=5,
∴抛物线向上移动5个单位长度正好经过O、E两点;
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-1569.jpg)
有2个交点,继续向上平移没有交点;
∴向下平移4个单位长度如图所示,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-1357.jpg)
有3个交点;
∴当向下平移大于4个单位长度,如图所示,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-3610.jpg)
有2个交点;
∴当继续移动的如图所示,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-6666.jpg)
有一个交点;
=9m2+6m+1
=(3m+1)2
∵(3m+1)2≥0,
∴无论m取何实数时,原方程总有两个实数根.
(2)解关于x的一元二次方程x2-(5m+1)x+4m2+m=0,
得 x1=m,x2=4m+1.
由题意得
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解得
1 |
2 |
(3)h=5或-4<h<-9.
∵m取第(2)问中符合题意的最小整数是1,
∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-5,
∴解析式y=-x2+6x-5的顶点为(3,4)
∵OC=ED=5,
∴抛物线向上移动5个单位长度正好经过O、E两点;
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-1569.jpg)
有2个交点,继续向上平移没有交点;
∴向下平移4个单位长度如图所示,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-1357.jpg)
有3个交点;
∴当向下平移大于4个单位长度,如图所示,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-3610.jpg)
有2个交点;
∴当继续移动的如图所示,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754653-6666.jpg)
有一个交点;
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