已知关于x的一元二次方程x的平方-（m-2）x-4分之m的平方=0求证无论m取什么实数根这个方程总有两个相异的实数根若这个方程的两个实数根满足X1X2满足x2的决

Question

已知关于x的一元二次方程x的平方-（m-2）x-4分之m的平方=0 求证无论m取什么实数根这个方程总有两个相异的实数根 若这个方程的两个实数根满足X1X2满足x2的决

Answer 1

X²-（m-2)X-1/4*m²=0
1）⊿=（m-2)²-4*（-1/4*m²）=m²-4m+4+m²
=2(m²-2m+2)
=2[(m-1)²+1]≥0
所以无论m取什么实数方程总有两个不同的实数根
2）因为 x1+x2=m-2 x1*x2=-1/4*m²
｜X2｜ =｜X1 ｜+2
则 ｜X2｜ -｜X1 ｜=2
1）当X1≥0 X2≧0, 则 x2-x1=2
(x2-x1)²=4 x2²+x1²-2*x1*x2=4
(x1+x2)²-4x1*x2=4
(m-2)²-4*(-1/4*m²)=4
m²-4m+4+m²=4
2m²-4m=0
m1=0 m2=2
当m1=0时, x1+x2=-2 x1*x2=0
解得x1=0 x2=-2, 或 x1=-2 x2=0
当m2=2时, x1+x2=0 x1*x2=-1
解得x1=1 x2=-1, 或 x1=-1 x2=1
2) 当X1≥0 X2＜0, 则 -x2-x1=2
x2+x1=-2 又 x1+x2=m-2
则 m=0
因此 x1+x2=-2 x1*x2=0
解得x1=0 x2=-2, 或 x1=-2 x2=0

3) 当X1＜0 X2＞0, 则 x2+x1=2
x2+x1=2 又 x1+x2=m-2
则 m=4
因此 x1+x2=2 x1*x2=-4
把x1=2-x2 代入x1*x2=-4
x2²-2x2-4=0 x2²+4x2+4-8=0
(x2+2) ²=8 x2=-2+2根号2 或 x2=-2-2根号2
解得x1=4+2根号2 x2=-2+2根号2, 或 x1=4-2根号2 x2=-2-2根号2

4) 当X1＜0 X2＜0, 则 -x2+x1=2
(-x2+x1)²=4 x2²+x1²-2*x1*x2=4
(x1+x2)²-4x1*x2=4
(m-2)²-4*(-1/4*m²)=4
m²-4m+4+m²=4
2m²-4m=0
m1=0 m2=2
当m1=0时, x1+x2=-2 x1*x2=0
解得x1=0 x2=-2, 或 x1=-2 x2=0
当m2=2时, x1+x2=0 x1*x2=-1
解得x1=1 x2=-1, 或 x1=-1 x2=1
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