木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外

Question

木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：圆心O₁、O₂分别在CD、AB上，半径分别是O₁C、O₂A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；
方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．
（1）写出方案一中圆的半径；
（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？
（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．
①求y关于x的函数解析式；
②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．

Answer 1

（1）方案一中的最大半径为1．
分析如下：
因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1；

（2）如图1，方案二中连接O₁，O₂，过O₁作O₁E⊥AB于E，方案三中，过点O分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．

方案二：
设半径为r，
在Rt△O₁O₂E中，
∵O₁O₂=2r，O₁E=BC=2，O₂E=AB-AO₂-CO₁=3-2r，
∴（2r）²=2²+（3-2r）²，
解得 r=(13)/(12)．
方案三：
设半径为r，
在△AOM和△OFN中，

∠A＝∠FON

∠OMA＝∠FNO

，
∴△AOM∽△OFN，
∴(OM)/(AM)＝(FN)/(ON)，
∴(r)/(3−r)＝(2−r)/(r)，
解得 r=(6)/(5)．
比较知，方案三半径较大；

（3）
①∵EC=x，
∴新拼图形水平方向跨度为3-x，竖直方向跨度为2+x．
类似（1），所截出圆的直径最大为3-x或2+x较小的．
a．当3-x＜2+x时，即当1＞x＞(1)/(2)时，y=(1)/(2)（3-x）；
b．当3-x=2+x时，即当x=(1)/(2)时，y=(1)/(2)（3-(1)/(2)）=(5)/(4)；
c．当3-x＞2+x时，即当0＜x＜(1)/(2)时，y=(1)/(2)（2+x）．
②当x＞(1)/(2)时，y=(1)/(2)（3-x）＜(1)/(2)（3-(1)/(2)）=(5)/(4)；
当x=(1)/(2)时，y=(1)/(2)（3-(1)/(2)）=(5)/(4)；
当x＜(1)/(2)时，y=(1)/(2)（2+x）＜(1)/(2)（2+(1)/(2)）=(5)/(4)，
∴方案四中，当x=(1)/(2)时，y最大为(5)/(4)．
∵1＜(13)/(12)＜(6)/(5)＜(5)/(4)，
∴方案四时可取的圆桌面积最大．