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在平面直角坐标系中,A(a,b)在第一象限内,且a、b满足条件:b-a=−(a−2)2,AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C.(1)求△AOC的面积;(2)如图,E为线段OB上一点,连AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED
题目详情
在平面直角坐标系中,A(a,b)在第一象限内,且a、b满足条件:b-a=
,AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C.
(1)求△AOC的面积;
(2)如图,E为线段OB上一点,连AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+
EF的值;
(3)如图,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连DA、CE,F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?若不改变,请求其值;若改变,求出变化的范围.
−(a−2)2 |
(1)求△AOC的面积;
(2)如图,E为线段OB上一点,连AE,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,ED平分∠OEF交OA于D,过D作DG⊥EF于G,求DG+
1 |
2 |
(3)如图,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连DA、CE,F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?若不改变,请求其值;若改变,求出变化的范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,得
-(a-2)2≥0,
∴(a-2)2≤0.
∵(a-2)2≥0,
∴a-2=0,
∴a=2.
∵b-a=
,
∴b-a=0,
∴b=2,
∴A(2,2).
∴AC=OC=2.
∴S△AOC=
×2×2=2.
∴△AOCD的面积为2;
(2)∵AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,
∴∠ABO=∠ACO=90°.
∵∠BOC=90°,
∴四边形ABOC是正方形,
∴AB=AC=BO=CO=2,OA平分∠BOC,∠BAC=90°.
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠BAC=∠EAF,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,BE=CF.
设BE=CF=t,OE=2-t,OF=2+t.
∵ED平分∠OEF,
∴点D是△OEF的内心.
作DM⊥OB于M,作DH⊥OF于H,且DG⊥EF于G,
∴DG=DM=DH,
∴四边形MOHD是正方形,
∴MO=HO=DM=DG.
设DG=MO=x,
∴x=
,
∴x=
,
∴EF=4-2x,
∴
WF=2-x.
∴DG+
EF=x+2-x=2.
答:DG+
EF的值为2;
(3)∠KBF的大小不变,∠KBF=45°
延长BF交AC于G,连接KG,作KM⊥AB于M,KN⊥AC于N,
∵四边形ABOC是正方形,
∴OB∥AC.
∴∠EBF=∠CGF,∠BEF=∠GCF.
∵F是CE的中点,
∴EF=CF.
在△BEF和△GCF中,
,
∴△BEF≌△GCF(AAS),
∴BF=GF.
∵BF⊥FK,
∴∠BFK=∠GFK=90°.
在△BFK和△GFK中
-(a-2)2≥0,
∴(a-2)2≤0.
∵(a-2)2≥0,
∴a-2=0,
∴a=2.
∵b-a=
−(a−2)2 |
∴b-a=0,
∴b=2,
∴A(2,2).
∴AC=OC=2.
∴S△AOC=
1 |
2 |
∴△AOCD的面积为2;
(2)∵AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,
∴∠ABO=∠ACO=90°.
∵∠BOC=90°,
∴四边形ABOC是正方形,
∴AB=AC=BO=CO=2,OA平分∠BOC,∠BAC=90°.
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠BAC=∠EAF,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,
即∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
|
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴AE=AF,BE=CF.
设BE=CF=t,OE=2-t,OF=2+t.
∵ED平分∠OEF,
∴点D是△OEF的内心.
作DM⊥OB于M,作DH⊥OF于H,且DG⊥EF于G,
∴DG=DM=DH,
∴四边形MOHD是正方形,
∴MO=HO=DM=DG.
设DG=MO=x,
∴x=
EO+FO−EF |
2 |
∴x=
2−t+2+t−EF |
2 |
∴EF=4-2x,
∴
1 |
2 |
∴DG+
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答:DG+
1 |
2 |
(3)∠KBF的大小不变,∠KBF=45°
延长BF交AC于G,连接KG,作KM⊥AB于M,KN⊥AC于N,
∵四边形ABOC是正方形,
∴OB∥AC.
∴∠EBF=∠CGF,∠BEF=∠GCF.
∵F是CE的中点,
∴EF=CF.
在△BEF和△GCF中,
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∴△BEF≌△GCF(AAS),
∴BF=GF.
∵BF⊥FK,
∴∠BFK=∠GFK=90°.
在△BFK和△GFK中
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