（2013•龙岗区模拟）如图，已知点A（2，0）、B（-1，0），C是y轴的负半轴上一点，且OA=OC，抛物线经过A、B、C三点．（1）此抛物线的关系式．（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使

Question

（2013•龙岗区模拟）如图，已知点A（2，0）、B（-1，0），C是y轴的负半轴上一点，且OA=OC，抛物线经过A、B、C三点．
（1）此抛物线的关系式．
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）Q是抛物线上一点，过点Q作指点BC的垂线，垂足为D，若△QDB与△BOC相似，请求点Q的坐标．

Answer 1

（1）∵A（2，0）、B（-1，0），
又OA=OC=2，即C（0，-2）---（1分）
设抛物线关系式为y=a（x-2）（x+1），---（2分）
解得：a=1，
∴y=（x-2）（x+1）=x²-x-2---（3分）
（2）在对称轴右侧的抛物线上是存在点P，使△PBC为直角三角形，
理由如下：（如图1）
∵C（0，-2），B（-1，0），
∴直线BC的关系式为y=-2x-2---（4分）
①当∠PBC=90°时，PB⊥BC，
设直线PB为y=(1)/(2)x+b，
∵B（-1，0），
∴b=(1)/(2)，
即y=(1)/(2)x+(1)/(2)，
解方程(1)/(2)x+(1)/(2)=x²-x-2　得x₁=-1（舍去），x₂=(5)/(2)
∴P₁（(5)/(2)，(7)/(4)）---（5分）
②当∠PCB=90°时，PC⊥BC，
设直线PC为y=(1)/(2)x+b₁
∵C（0，-2），∴b₁=-2
即y=(1)/(2)x−2
解方程(1)/(2)x−2=x²-x-2　得x₁=0（舍去），x₂=(3)/(2)
∴P₂（(3)/(2)，(−5)/(4)）---（6分）
③以BC为直径画圆，与抛物线没有交点，
∴∠BPC不可能为直角，
综上所述，存在P₁（(5)/(2)，(7)/(4)）、P₂（(3)/(2)，(−5)/(4)）使得△PAC为直角三角形．---（7分）
（3）（如图2）
①当∠QBD=∠OBC时，
又∵∠QDB=∠BOC=90°
∴△QDB∽△COB，
此时，QB与与BA重合，即Q₁（2，0）---（8分）
②当∠QBD=∠OCB时，
又∵∠QDB=∠BOC=90°
∴△QDB∽△COB，
设BQ交y轴于点F，
∵∠QBD=∠OCB，
∴BF=CF，
设CF=BF=m，则m²=（2-m）²+1²
∴m=(5)/(4)，
∴F（0，(−5)/(4)）---（9分）
∴直线BF的表达式为y=(−5)/(4)x−(5)/(4)，
解方程(−5)/(4)x−(5)/(4)=x²-x-2得，
∴