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(2013•龙岗区模拟)如图,已知点A(2,0)、B(-1,0),C是y轴的负半轴上一点,且OA=OC,抛物线经过A、B、C三点.(1)此抛物线的关系式.(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使
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![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754664-8449.jpg)
(1)此抛物线的关系式.
(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PBC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)Q是抛物线上一点,过点Q作指点BC的垂线,垂足为D,若△QDB与△BOC相似,请求点Q的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵A(2,0)、B(-1,0),
又OA=OC=2,即C(0,-2)---(1分)
设抛物线关系式为y=a(x-2)(x+1),---(2分)
解得:a=1,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754663-6700.jpg)
∴y=(x-2)(x+1)=x2-x-2---(3分)
(2)在对称轴右侧的抛物线上是存在点P,使△PBC为直角三角形,
理由如下:(如图1)
∵C(0,-2),B(-1,0),
∴直线BC的关系式为y=-2x-2---(4分)
①当∠PBC=90°时,PB⊥BC,
设直线PB为y=
x+b,
∵B(-1,0),
∴b=
,
即y=
x+
,
解方程
x+
=x2-x-2 得x1=-1(舍去),x2=
∴P1(
,
)---(5分)
②当∠PCB=90°时,PC⊥BC,
设直线PC为y=
x+b1
∵C(0,-2),∴b1=-2
即y=
x−2
解方程
x−2=x2-x-2 得x1=0(舍去),x2=
∴P2(
,
)---(6分)
③以BC为直径画圆,与抛物线没有交点,
∴∠BPC不可能为直角,
综上所述,存在P1(
,
)、P2(
,
)使得△PAC为直角三角形.---(7分)
(3)(如图2)
①当∠QBD=∠OBC时,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754664-6792.jpg)
又∵∠QDB=∠BOC=90°
∴△QDB∽△COB,
此时,QB与与BA重合,即Q1(2,0)---(8分)
②当∠QBD=∠OCB时,
又∵∠QDB=∠BOC=90°
∴△QDB∽△COB,
设BQ交y轴于点F,
∵∠QBD=∠OCB,
∴BF=CF,
设CF=BF=m,则m2=(2-m)2+12
∴m=
,
∴F(0,
)---(9分)
∴直线BF的表达式为y=
x−
,
解方程
x−
=x2-x-2得,
∴
又OA=OC=2,即C(0,-2)---(1分)
设抛物线关系式为y=a(x-2)(x+1),---(2分)
解得:a=1,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754663-6700.jpg)
∴y=(x-2)(x+1)=x2-x-2---(3分)
(2)在对称轴右侧的抛物线上是存在点P,使△PBC为直角三角形,
理由如下:(如图1)
∵C(0,-2),B(-1,0),
∴直线BC的关系式为y=-2x-2---(4分)
①当∠PBC=90°时,PB⊥BC,
设直线PB为y=
1 |
2 |
∵B(-1,0),
∴b=
1 |
2 |
即y=
1 |
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1 |
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解方程
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1 |
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∴P1(
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②当∠PCB=90°时,PC⊥BC,
设直线PC为y=
1 |
2 |
∵C(0,-2),∴b1=-2
即y=
1 |
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解方程
1 |
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3 |
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∴P2(
3 |
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−5 |
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③以BC为直径画圆,与抛物线没有交点,
∴∠BPC不可能为直角,
综上所述,存在P1(
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−5 |
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(3)(如图2)
①当∠QBD=∠OBC时,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532754664-6792.jpg)
又∵∠QDB=∠BOC=90°
∴△QDB∽△COB,
此时,QB与与BA重合,即Q1(2,0)---(8分)
②当∠QBD=∠OCB时,
又∵∠QDB=∠BOC=90°
∴△QDB∽△COB,
设BQ交y轴于点F,
∵∠QBD=∠OCB,
∴BF=CF,
设CF=BF=m,则m2=(2-m)2+12
∴m=
5 |
4 |
∴F(0,
−5 |
4 |
∴直线BF的表达式为y=
−5 |
4 |
5 |
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解方程
−5 |
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∴
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