如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、A

Question

如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．
（1）将S表示为x的函数；
（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

（1）以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设曲线段BC所在抛物线方程为y²=2px（p＞0）．
将点C（1，1）代入，得2p=1．所以曲线段BC的方程为y=√(x)（0≤x≤1）．
又由点C（1，1），D（2，3）得线段CD的方程为y=2x-1（1≤x≤2），
而GA=2-x，所以S＝

√(x)(2−x)，0≤x≤1

(2x−1)(2−x)，1＜x＜2

，
（2）①当0＜x≤1时，因为S＝√(x)(2−x)＝2x(1)/(2)−x(3)/(2)，
所以S′＝x−(1)/(2)−(3)/(2)x(1)/(2)＝(2−3x)/(2√(x))，令S′=0得x＝(2)/(3)．
当x∈(0，(2)/(3))时，S′＞0，所以此时S递增；
当x∈((2)/(3)，1)时，S′＜0，所以此时S递减，所以当x＝(2)/(3)时，Smax＝(4√(6))/(9)．
②当1＜x＜2时，因为S＝(2x−1)(2−x)＝−2(x−(5)/(4))2+(9)/(8)．
所以当x=(5)/(4)时，Smax＝(9)/(8)．
综上，因为(9)/(8)＞(4√(6))/(9)，所以当x＝(5)/(4)米时，Smax＝(9)/(8)cm2．
答：当x取值为(5)/(4)米时，矩形AEFG的面积最大为(9)/(8)cm2．