证明如果直角三角形的3条边长度都是整数那么肯定有一条边长是3的倍数好象可以用余数

Question

证明 如果直角三角形的3条边长度都是整数 那么 肯定有一条边长是3的倍数 好象可以用余数

Answer 1

证明：假设三边长分别为a,b,c,c为斜边,a.b.c均为整数,且a,b,c,均不能被3整除,由勾股定理可知:
a^2+b^2=c^2
∴a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b),
由于a.b.c都是不能被3整除的整数,
所以,a^2一定不是3的倍数
我们对(c+b)(c-b)进行分情况讨论：
（1）.若b,c除以3的余数都为1,设b=3m+1,c=3n+1,则c-b=(3n+1)-(3m+1)=3n-3m=3(n-m)一定能被3整除；
（2）.若b,c除以3的余数都为2,设b=3m+2,c=3n+2,则c-b=(3n+2)-(3m+2)=3n-3m=3(n-m)也一定能被3整除；
（3）.若b,c除以3的余数都一个为1,一个为2,设b=3m+1,c=3n+2,则c+b=(3n+2)+(3m+1)=3m+3n+3=3(m+n+1)仍然一定能被3整除；
所以,不论b,c为何整数,(c+b)(c-b)一定是3的倍数,
很显然,等式a^2=(c+b)(c-b)的左右两边矛盾,
所以,假设不成立,
所以,a.b.c三个数中一定有一个数是3的倍数.