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如图,直线OA与反比例函数的图象交于点A(3,3),向下平移直线OA,与反比例函数的图象交于点B(6,m)与y轴交于点C,(1)求直线BC的解析式;(2)求经过A、B、C三点的二次函数的解析式
题目详情
如图,直线OA与反比例函数的图象交于点A(3,3),向下平移直线OA,与反比例函数的图象交于点B(6,m)与y轴交于点C,
(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过A、B、C三点的二次函数的解析式;
(3)设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D,对称轴与x轴的交点为E.
问:在二次函数的对称轴上是否存在一点P,使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求经过A、B、C三点的二次函数的解析式;
(3)设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D,对称轴与x轴的交点为E.
问:在二次函数的对称轴上是否存在一点P,使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由直线OA与反比例函数的图象交于点A(3,3),
得直线OA为:y=x,双曲线为:y=
,
点B(6,m)代入y=
得m=
,点B(6,
),(1分)
设直线BC的解析式为y=x+b,由直线BC经过点B,
将x=6,y=
,代入y=x+b得:b=−
,(1分)
所以,直线BC的解析式为y=x−
;(1分)
(2)由直线y=x−
得点C(0,−
),
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx−
将A、B两点的坐标代入y=ax2+bx−
,得:
,(1分)
解得
(1分)
所以,抛物线的解析式为y=−
x2+4x−
;(1分)
(3)存在.
把y=−
x2+4x−
配方得y=−
(x−4)2+
,
所以得点D(4,
),对称轴为直线x=4(1分)
得对称轴与x轴交点的坐标为E(4,0).(1分)
由BD=
,BC=
,CD=
,得CD2=BC2+BD2,所以,∠DBC=90°(1分)
又∠PEO=90°,若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似,则有:
①
=
,即
=
,得PE=
,有P1(4,
),P2(4,−
)
②
=
,即
=
,得PE=12,有P3(4,12),P4(4,-12)(3分)
所以,点P的坐标为(4,
),(4,−
),(4,12),(4,-12).
得直线OA为:y=x,双曲线为:y=
9 |
x |
点B(6,m)代入y=
9 |
x |
3 |
2 |
3 |
2 |
设直线BC的解析式为y=x+b,由直线BC经过点B,
将x=6,y=
3 |
2 |
9 |
2 |
所以,直线BC的解析式为y=x−
9 |
2 |
(2)由直线y=x−
9 |
2 |
9 |
2 |
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx−
9 |
2 |
将A、B两点的坐标代入y=ax2+bx−
9 |
2 |
|
解得
|
所以,抛物线的解析式为y=−
1 |
2 |
9 |
2 |
(3)存在.
把y=−
1 |
2 |
9 |
2 |
1 |
2 |
7 |
2 |
所以得点D(4,
7 |
2 |
得对称轴与x轴交点的坐标为E(4,0).(1分)
由BD=
8 |
72 |
80 |
又∠PEO=90°,若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似,则有:
①
OE |
BC |
PE |
DB |
4 | ||
6
|
PE | ||
2
|
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
②
OE |
DB |
PE |
BC |
4 | ||
2
|
PE | ||
6
|
所以,点P的坐标为(4,
4 |
3 |
4 |
3 |
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