已知三棱锥O-ABC中,它的底面边长和侧棱长除OC外都是3,并且侧面0AB与底面ABC所成的角是60度.求侧棱OC的长和三棱锥的体积?

Question

已知三棱锥O-ABC中,它的底面边长和侧棱长除OC外都是3,并且侧面0AB与底面ABC所成的角是60度.求侧棱OC的长和三棱锥的体积?

Answer 1

作OD垂直于AB于D,连接DC,作OE垂直DC于O'.
∵三角形OAB为等边三角形
∴OD为三角形OAB的一条中线,即,D为AB的中点
又∵三角形ABC为等边三角形
∴DC⊥AB于D
∴∠ODO'为侧面0AB与底面ABC所成的二面角
∴∠ODO'=60度
∴O'O=OD*sin60=(3/2)√3*(√3/2)=9/4
O'D=OD*cos60=(3/2)√3*(1/2)=3√3/4
由作图以及条件知:DC=(3/2)√3
∴O'C=DC-O'D=(3/2)√3-3√3/4=3√3/4
∴OC=√[(O'C)^2+(OO')^2]=3√3/2
三棱锥的体积
V=(1/3)*(三角形ABC的面积)*OO'
=(1/3)*[(1/2)*AB*DC]*OO'
=(1/3)*9√3/4*9/4
=27√3/16
附:方法就是这样的,至于算的结果,我是用口算的,如不对,你再自己算一次.
一般这类问题的解决方法是这样的:遇到二面角的问题,不论你用什么方法,须先找出这个二面角,再围绕这个二面角展开来做.