已知abc均为正数,证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2>=6根号3,并确定abc为何值,等号成立?

Question

已知abc均为正数,证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2>=6根号3,并确定abc为何值,等号成立?

Answer 1

因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ac
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②（6分）
故a2+b2+c2+(1a+1b+1c)2③
≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac
≥63所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时,③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=314时,原式等号成立．（10分）