请问：分解因式（a+b+c）的5次方－a的５次方－b的５次方-c的５次方=?

Question

请问：分解因式（a+b+c）的5次方－a的５次方－b的５次方-c的５次方=?

Answer 1

（a+b+c)^5－a^５－b^５-c^５ 这是五次对称多项式，易发现， 当a=-b时，原多项式为0 ， 所以原多项式含有因式a+b, 由于是对称多项式，则必还含有因式b+c,c+a. 即含有因式（a+b)(b+c)(c+a)， 从次数上看，原多项式还应含有一个2次对称多项式， 可设为m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca), 即(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=（a+b)(b+c)(c+a)[m(a^2+b^2+c^2)+n(ab+bc+ca)], 其中m,n是待定系数。 令a=1,b=1,c=0 得30＝2（2m+n), 令a=0,b=1,c=2 得210＝6（5m+2n), 解得：m=5,n=5, 所以(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5=5（a+b)(b+c)(c+a）[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca]