现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n=．

Question

现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n=______．

Answer 1

设此根n节的竹竿的自上而下每节的长度依次构成等差数列为{a_n}，公差为d．
由题意可知：a₁=10，a_n-2+a_n-1+a_n=114，

a

2 6

＝a1an．
联立可得

a1＝10

3a1+(3n−6)d＝114

(a1+5d)2＝a1[a1+(n−1)d]

，解得

n＝16

a1＝10

d＝2

因此n=16．
故答案为16．