在△ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.其中b=√3/2,tanA+tanC+tan(π/3)=tanAtanCtantan(π/3).(1)求角B的大小(2)求a+c的取值范围

Question

在△ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.其中b=√3/2,tanA+tanC+tan(π/3)=tanAtanCtantan(π/3).(1)求角B的大小(2)求a+c的取值范围

Answer 1

（1）由tanA+tanC+tan(π/3)=tanAtanCtan(π/3)
可以得出 tanA+tanC=-√3*（1-tanAtanC）
（tanA+tanC）/（1-tanAtanC）=tan(A+C)=-√3
在三角形中 tanB=-tan(A+C)=√3 B=π/3
（2）正选定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以（a+c）/(sinA+sinC)=b/sinB=(√3/2)/(√3/2)=1
即a+c=sinA+sinC 由上面知B=π/3 所以C=2π/3-A
a+c=sinA+sin(2π/3-A) 展开再化简
a+c=√3 sin(π/6+A) 因为A∈（0,2π/3)
所以a+c的取值范围是：（√3/2,√3）