已知函数fx等于x平方加bx加c对任意x属R有2x加b小于等于fx恒成立,证明,当x大于等于零时fx小于等于(c+x)的平方

Question

已知函数fx等于x平方加bx加c对任意x属R有2x加b小于等于fx恒成立,证明,当x大于等于零时
fx小于等于(c+x)的平方

Answer 1

由已知可推导：
f(x)=x²+bx+c≥2x+b;
即：x²+bx+c-(2x+b)≥0；
令f(x)'=x²+bx+c-(2x+b)=x²+(b-2)x+(c-b)
上述方程为一元二次方程,在x=（2-b)/2时有最小值；
将x=（2-b)/2带入f(x)'并整理可得到：f(x)'=c-1-b²/4≥0
移项：c-1≥b²/4≥0;即 c-1≥0; 式1)
将x=（2-b)/2带入f(x)'并整理另一种形式可得到：f(x)'=c-b-[(2-b)/2]²≥0
移项：c-b≥[(2-b)/2]²≥0; 式2）
需要证明的方程为：(c+x)²≥f(x)
整理上述方程得到：(2c-b)x+c(c-1)≥0；
由式1） c≥1,所以c(c-1))≥0
由式2） c-b≥0,因为c≥1,所以2c-b=c+(c-b)>0
所以当x≥0时：(2c-b)x+c(c-1))≥0.
亦即（c+x)²≥f(x)
本题得证