如图1所示，竖直放置的轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的小物块连接，在竖直向上的拉力T作用下，物块静止于O点．此时，T=2mg，弹簧的伸长量为h．现撤去拉力T，物块竖直向下运动直

Question

如图1所示，竖直放置的轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的小物块连接，在竖直向上的拉力T作用下，物块静止于O点．此时，T=2mg，弹簧的伸长量为h．现撤去拉力T，物块竖直向下运动直至最低点，此过程中弹簧始终未超出弹性限度．

（1）求物块静止于O点时，弹簧弹力的大小F；
（2）取O为坐标原点、竖直向下为正方向建立坐标系．在图2中作出物块向下运动到位移x=4h过程中的加速度a与x关系图线：
（3）求向下运动过程中，物块动能的最大值E_Km．

Answer 1

（1）物块静止于O点时，在重力、拉力和弹簧弹力作用下，处于平衡状态，设弹力为F，则：
由平衡条件可得：mg+F=T，即F=T-mg=2mg-mg=mg；
（2）撤去拉力后，物体做简谐运动．当在撤去拉力的瞬间，设弹簧的劲度系数为K，由胡克定律可得：mg=kh，解得：K=(mg)/(h)，
此时，加速度为：a₁=(mg+mg)/(m)=2g，方向向下；
向下运动过程中，由牛顿第二定律得：a=(mg+kx)/(m)，形变量x减小，物体向下做加速度减小的加速运动，当弹簧恢复原长，下降高度为 h，a₂=g，方向向下；
当弹簧恢复原长后，继续向下运动，弹力向上，由a=(mg-kx)/(m)可知，形变量增大，物体向下做加速度减小的加速运动，当弹力等于重力时，kh′=mg，h′=h，a₃=0；
当弹力等于重力时，此位置为简谐运动的平衡位置．前两个过程物体下降总的高度为2h，此后物体继续向下运动，弹力大于重力，由a=(kx-mg)/(m)可知，形变量增大，物体做加速度增大的减速运动，由对称性可知，下降到最低点，此过程向下运动的距离为2h，加速度为：a₄=2g，方向向上；
由表达式可知a与x是线性变化，综上分析，物块向下运动到位移x=4h过程中的加速度a与x关系图线如图示：

（3）当物体下降到弹力等于重力时，合力为零，速度最大，动能最大，因为弹性势能只与形变量有关，由以上分析可知，弹性势能变化量为0，所以：
由功能关系可得：E_Km=2mgh．
答：（1）求物块静止于O点时，弹簧弹力的大小为 mg；
（2）物块向下运动到位移x=4h过程中的加速度a与x关系图线如图所示；
（3）向下运动过程中，物块动能的最大值为2mgh．