直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运功，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．（1）如图①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO=40°，求∠AIB的度数．（2）如图②，AI平

Question

直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运功，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO=40°，求∠AIB的度数．
（2）如图②，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO=40°，则∠ADB=___度（直接写出结果，不需说理）
②点A、B在运动的过程中，若∠BAO=m°，试求∠ADB的度数．
（3）如图③，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．

Answer 1

（1）如图①中，

∵MN⊥PQ，
∴∠AOB=90°，∵∠OAB=40°，
∴∠ABO=90°-∠OAB=50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA=(1)/(2)ABO=25°，∠IAB=(1)/(2)∠OAB=20°，
∴∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）=135°．
（2）如图②中，

①∵∠MBA=∠AOB+∠BAO=90°+40°=130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA=(1)/(2)∠MBA=65°，∠BAI=(1)/(2)∠BAO=20°，
∵∠CBA=∠D+∠BAD，
∴∠D=45°．
②结论：点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°
理由：∵∠D=∠CBA-∠BAD=(1)/(2)∠MBA-(1)/(2)∠BAO=(1)/(2)（∠MBA-∠BAO）=(1)/(2)∠AOB=(1)/(2)×90°=45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°．

（3）如图③中，

∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
∴∠DAO=(1)/(2)∠BAO，∠FAO=(1)/(2)∠EAP，
∴∠DAF=(1)/(2)∠BAO+(1)/(2)∠EAP=(1)/(2)×180°=90°，
∴∠D=∠POD-∠DAO=(1)/(2)∠POB-(1)/(2)∠BAO=(1)/(2)（∠POB-∠BAO）=(1)/(2)∠ABO，
①当∠DAF=4∠D时，∠D=22.5°，
∴∠ABO=2∠D=45°．
②当∠DAF=4∠F时，∠F=22.5°，∠D=67.5°，
∴∠B=2∠D=135°（不合题意舍弃）．
③当∠F=4∠D时，∠D=18°，
∴∠ABO=2∠D=36°．
④当∠D=4∠F时，∠D=72°，
∴∠ABP=2∠D=144°（不合题意舍弃）．
综上所述，当∠ABO=45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．