为什么y=e^|x|在x=0处不可导用导数的定义怎么验证?

Question

为什么y=e^|x|在x=0处不可导
用导数的定义怎么验证?

Answer 1

函数在某点导数存在的充要条件是在该点左右导数均存在且相等；
证明：要验证y=e^|x|在x=0处不可导,那么根据导数的第二定义：
f'(0+)=lim(x→0+)[(f(x)-f(0))/(x-0)]
=lim(x→0+)[(e^x-1)/x]
=lim(x→0+)(e^x)
=1 (用罗贝塔法则求)
f'(0-)=lim(x→0-)[(f(x)-f(0))/(x-0)]
=lim(x→0-)[(e^(-x)-1)/x]
=lim(x→0-)(-e^-x)
=-1 (用罗贝塔法则求)
所以f'(0+)≠f'(0-)
即函数在x=0处不可导.