如图所示，某村积极开展“美丽乡村•生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，A

Question

如图所示，某村积极开展“美丽乡村•生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上．

（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，求∠MCN的余弦值；
（Ⅱ）由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

（本题满分为12分）
（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，设∠DCN=∠BCM=θ，
CD=BC=1，DN=BM=(1)/(2)，CN=CM=(√(5))/(2)，sinθ=(√(5))/(5)，cosθ=(2√(5))/(5)，∠MCN=(π)/(2)-2θ，
所以cos∠MCN=cos（(π)/(2)-2θ）=sin2θ=2sinθcosθ=(4)/(5)，
所以∠MCN的余弦值是(4)/(5)．-----------（6分）
（Ⅱ）设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1-x，DN=1-y，
在△CBM中，tanα=1-x，在△CDN中，tanβ=1-y，
所以：tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(1-x+1-y)/(1-(1-x)(1-y))=(2-(x+y))/(x+y-xy)，（*）----------（8分）
△AMN的周长为2千米，所以x+y+√(x2+y2)=2，化简得xy=2（x+y）-2，
代入（*）式，可得tan（α+β）=(2-(x+y))/(x+y-xy)=(2-(x+y))/(x+y-[2(x+y)-2])=(2-(x+y))/(2-(x+y))=1，
所以α+β=(π)/(4)，所以∠MCN是定值，且∠MCN=(π)/(4)．-----------（12分）