方程y"+y=x^2+1怎么设特解

Question

方程y"+y=x^2+1怎么设特解

Answer 1

这是二阶常系数非齐次线性方程,其中Pm(x)=x^2 +1,λ=0,它对应的齐次方程为：
y''+y=0
它的特征方程为：
r^2 +1=0
解得,它的特征根为r1=i,r2=-i.
对于齐次线性方程的通解为：
y=c1*cosx +c2*sinx
(如果二阶常系数非齐次线性方程右端项f(x)=Pm(x)e^(λx),则方程具有形如
y* =x^k Qm(x)e^(λx)的特解,Qm(x)是与Pm(x)同次的待定多项式,而k按λ不是特征根,是特征根,或是特征根重根依次取0,1,2）
由于λ=0不是特征根,所以k=0,应设特解为：
y* =ax^2 +bx +c,代入原方程得：
2a +ax^2 +bx +c=x^2 +1
对应系数相等,那么a=1,b=0,c=-1
即特解为:y* =x^2 -1
那么原方程的通解为：
y=c1*cosx +c2*sinx +x^2 -1