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求定积分近似值的抛物线法这个式子是如何得出来的,请提供具体过程,
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求定积分近似值的抛物线法
这个式子是如何得出来的,请提供具体过程,
这个式子是如何得出来的,请提供具体过程,
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答案和解析
把y=px^2 + qx + r 看做梯形的曲边,在[xi-1 ,xi+1]上积分,就是其面积:
积分结果为:p/3 ×x^3 + q/2 × x^2 + rx代入积分区间:[xi-1 ,xi+1],得到面积的结果为:
p/3 ×(xi-1^3 - xi+1^3) + q/2 × (xi-1^2 - xi+1^2 ) + r (xi-1 - xi+1 )提出公分母1/6,为:
1/6[2p(xi-1^3 - xi+1^3) + 3(xi-1^2 - xi+1^2 ) + 6r(xi-1 - xi+1 ) 其中(xi-1 - xi+1)为公因式,再提出来,即2△x:
1/6[2p(xi-1 ^ 2 + xi-1xi+1 + xi+1^ 2) + 3q(xi-1 + xi+1) + 6r]×2△x把系数2p和3q乘进去,整理得到:
1/6[2pxi-1^ 2 + 2pxi-1xi+1 + 2pxi+1^ 2 + 3qxi-1 + 3qxi+1 + 6r]×2△x其中:pxi-1^ 2 + qxi-1 + r = yi-1pxi+1^ 2 + qxi+1 + r = yi+1得到:1/6[ yi-1 + yi+1 + p(xi-1 + xi+1)^ 2 + 2q(xi-1 + xi+1) + 4r]×2△x
注意到:(xi-1 + xi+1)/2正好是xi,
而pxi^ 2 + qxi + r = yi
所以
p(xi-1 + xi+1)^ 2 + 2q(xi-1 + xi+1) + 4r = 4yi
于是面积是:1/6[ yi-1 + yi+1 + 4yi]×2△x
积分结果为:p/3 ×x^3 + q/2 × x^2 + rx代入积分区间:[xi-1 ,xi+1],得到面积的结果为:
p/3 ×(xi-1^3 - xi+1^3) + q/2 × (xi-1^2 - xi+1^2 ) + r (xi-1 - xi+1 )提出公分母1/6,为:
1/6[2p(xi-1^3 - xi+1^3) + 3(xi-1^2 - xi+1^2 ) + 6r(xi-1 - xi+1 ) 其中(xi-1 - xi+1)为公因式,再提出来,即2△x:
1/6[2p(xi-1 ^ 2 + xi-1xi+1 + xi+1^ 2) + 3q(xi-1 + xi+1) + 6r]×2△x把系数2p和3q乘进去,整理得到:
1/6[2pxi-1^ 2 + 2pxi-1xi+1 + 2pxi+1^ 2 + 3qxi-1 + 3qxi+1 + 6r]×2△x其中:pxi-1^ 2 + qxi-1 + r = yi-1pxi+1^ 2 + qxi+1 + r = yi+1得到:1/6[ yi-1 + yi+1 + p(xi-1 + xi+1)^ 2 + 2q(xi-1 + xi+1) + 4r]×2△x
注意到:(xi-1 + xi+1)/2正好是xi,
而pxi^ 2 + qxi + r = yi
所以
p(xi-1 + xi+1)^ 2 + 2q(xi-1 + xi+1) + 4r = 4yi
于是面积是:1/6[ yi-1 + yi+1 + 4yi]×2△x
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