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求解常微分方程xx''-(x')²+(x')³=0
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求解常微分方程xx''-(x')²+(x')³=0
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答案和解析
令p=x', 则x"=pdp/dx
代入方程：xpdp/dx-p^2+p^3=0
xdp/dx=p-p^2
dp/[p(1-p)]=dx/x
dp[1/p+1/(1-p)]=dx/x
积分：ln|p/(1-p)|=ln|x|+C1
得p/(1-p)=Cx
dx/dt=Cx/(1+Cx)
dx(1+Cx)/x=Cdt
dx(1/x+C)=Cdt
积分：ln|x|+Cx=Ct+C2
代入方程：xpdp/dx-p^2+p^3=0
xdp/dx=p-p^2
dp/[p(1-p)]=dx/x
dp[1/p+1/(1-p)]=dx/x
积分：ln|p/(1-p)|=ln|x|+C1
得p/(1-p)=Cx
dx/dt=Cx/(1+Cx)
dx(1+Cx)/x=Cdt
dx(1/x+C)=Cdt
积分：ln|x|+Cx=Ct+C2
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