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设f(x)=(x-1)φ(x),且φ(x）在点x=1处连续,试证明：f(x)在点x=1处可导.
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设f(x)=(x-1)φ(x),且φ(x）在点x=1处连续,试证明：f(x)在点x=1处可导.
▼优质解答
答案和解析
证明：为了书写方便我们记f(x)=(x-1)y(x),其中y(x)在x=1处连续,但题中未告知y(x)在x=1的邻域内是否可导,因此不能对其求导,一楼有误.按导数定义考察,注意到f(1)=0,(x->1)lim[f(x)-f(1)]/(x-1)=(x->1)lim[(x-1)y(x)]/(x-1)=(x->1)limy(x)=y(1),此极限存在,则有f'(1)=y(1),显然f(x)在x=1处可导.证毕!
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