设In=∫(tanx)^ndx.求证：In=(tanx)^(n-1)/(n-1)-I[n-2].并求∫(tanx)^5dx

Question

设In=∫(tanx)^ndx.求证：In=(tanx)^(n-1)/(n-1) -I[n-2].并求∫(tanx)^5dx

Answer 1

In=∫(tanx)^ndx
=∫(tanx)^(n-2)×tan²xdx
=∫(tanx)^(n-2)×(1/cos²x-1)dx
=∫((tanx)^(n-2)×1/cos²x-(tanx)^(n-2))dx
=∫(tanx)^(n-2)×1/cos²xdx-∫(tanx)^(n-2)dx
=∫(tanx)^(n-2)dtanx-∫(tanx)^(n-2)dx
=(tanx)^(n-1)/(n-1) -I[n-2]

∵I1=∫tanxdx=∫sinx/cosx dx=∫-dcosx/cosx=-ln|cosx|+C
∴∫(tanx)^5dx
=I5
=(tanx)^4/4-I3
=(tanx)^4/4-(tanx²/2-I1)
=(tanx)^4/4-tanx²/2+I1
=(tanx)^4/4-tanx²/2-ln|cosx|+C