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设f(x)是一个n次多项式,若当k=0,1,...,n时有f(k)=k/(k+1),求f(n+1)~
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设f(x)是一个n次多项式,若当k=0,1,...,n时有f(k)=k/(k+1),求f(n+1)~
▼优质解答
答案和解析
由题意知方程f(x)－x/(x+1)＝0由n+1个根：0、1、2、……、n,即方程(x+1)f(x)－x＝0有n+1个根,而(x+1)f(x)－x是n+1次多项式,所以
(x+1)f(x)－x＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－n)＝x(x－1)(x－2)……(x－n)
代入x＝n+1得
f(n+1)＝[n+1＋(n+1)!]/(n+2)
(x+1)f(x)－x＝(x－0)(x－1)(x－2)……(x－n)＝x(x－1)(x－2)……(x－n)
代入x＝n+1得
f(n+1)＝[n+1＋(n+1)!]/(n+2)
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