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已知数列bn=n·(3^n),求数列{bn}的前n项和Sn.
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已知数列bn=n·(3^n),求数列{bn}的前n项和Sn.
▼优质解答
答案和解析
∵b[n]=n(3^n)
∴S[n]=1*3^1+2*3^2+3*3^3+...+n3^n
∵3S[n]=1*3^2+2*3^3+3*3^4+...+n3^(n+1)
∴2S[n]
=3S[n]-S[n]
=n3^(n+1)-[3^1+3^2+3^3+...+3^n]
=n3^(n+1)-3(3^n-1)/(3-1)
=n3^(n+1)-3(3^n-1)/2
=n3^(n+1)-3^(n+1)/2+3/2
=[(2n-1)3^(n+1)+3]2
∴S[n]=[(2n-1)3^(n+1)+3]/4
∴S[n]=1*3^1+2*3^2+3*3^3+...+n3^n
∵3S[n]=1*3^2+2*3^3+3*3^4+...+n3^(n+1)
∴2S[n]
=3S[n]-S[n]
=n3^(n+1)-[3^1+3^2+3^3+...+3^n]
=n3^(n+1)-3(3^n-1)/(3-1)
=n3^(n+1)-3(3^n-1)/2
=n3^(n+1)-3^(n+1)/2+3/2
=[(2n-1)3^(n+1)+3]2
∴S[n]=[(2n-1)3^(n+1)+3]/4
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