证明这个问题证明：当n为大于2的整数时,n^5-5n^3+4n能被120整除.并说明理由.

Question

证明这个问题
证明：当n为大于2的整数时,n^5-5n^3+4n能被120整除.
并说明理由.

Answer 1

n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
n>2
则这是连续五个正整数的乘积
连续五个正整数中必有一个是5的倍数
所以能被5整除
连续三个整数中必有一个是3的倍数
所以能被3整除
连续四个整数中必有2个偶数
且其中有一个能被4整除
所以能被4×2=8整除
5,3,8两两互质
所以原数必能被5*3*8=120整除