已知数列{an}满足a1=15,An+1-An=2n,则an/n的最小值为详解

Question

已知数列{an}满足a1=15,An+1-An=2n,则an/n的最小值为 详解

Answer 1

由等式，代入n=1, 2, ..., (n-1)得：
a2-a1=2
a3-a2=4
...
an-a(n-1)=2(n-1)
以上各式相加：an-a1=n(n-1)
因此an=a1+n(n-1)=n²-n+15
an/n=n+15/n-1
由均值不等式，n+15/n>=2√(n*15/n)=2√15, 当n=15/n时取等号，即n=√15时取等号，
但这里n为正整数，因此最接近√15的值越小
当n=4时，a4/4=4+15/4-1=27/4
当n=3时，a3/3=3+15/3-1=7
所以当n=4时最小，最小值为27/4