已知1/10=1/n+1/m,（m、n是不相等的自然数）,求所有满足条件m、n的值.

Question

已知1/10=1/n+1/m,（m、n是不相等的自然数）,求所有满足条件m、n的值.

Answer 1

一、∵1/n＝（1＋n）/［n（1＋n）］＝1/［n（1＋n）］＋1/（1＋n）.
　　∴令上式中的n＝10,得：1/10＝1/110＋1/11.
　　∴m＝110、n＝11,或m＝11、n＝110.
二、∵1/n＝k/（kn）＝1/（kn）＋（k－1）/（kn）＝1/（kn）＋1/［kn/（k－1）］.
　　令上式中的n＝10,得：1/10＝1/（10k）＋1/［10k/（k－1）］.
　　显然,若10k/（k－1）是正整数,则是满足题意的.
　　设10k/（k－1）＝m,其中k、m都是正整数.
　　则：10k/（k－1）＝10［（k－1）＋1］/（k－1）＝10＋10/（k－1）.
　　∴10/（k－1）是正整数,∴k－1的值是10,或5,或2,或1.
　　∴k的值是11,或6,或3,或2.
　　1、当k＝11时,有：1/10＝1/110＋1/11.
　　　　此时,m＝110、n＝11,或m＝11、n＝110.
　　2、当k＝6时,有：1/10＝1/60＋1/12.
　　　　此时,m＝60、n＝12,或m＝12,n＝60.
　　3、当k＝3时,有：1/10＝1/30＋1/15.
　　　　此时,m＝30、n＝15,或m＝15、n＝30.
　　4、当k＝2时,有：1/10＝1/20＋1/20.
　　　　此时,m＝n＝20.
综上所述,得：满足条件的m、n之值有7组,分别是：
①m＝110、n＝11,②m＝11、n＝110,③m＝60、n＝12,④m＝12,n＝60,
⑤m＝30、n＝15,⑥m＝15、n＝30,⑦m＝n＝20.
注：对于任何的1/a.
　　1、若只考虑写出其中的一组,则运用方法一可迅速解决问题.
即1/a＝1/［a（a＋1）］＋1/（a＋1）.
　　2、若需要考虑全部的数对,则需要运用方法二才能解决问题.
　　3、若需要强调m、n不等,则将m＝n＝1/（2a）这一组去掉即可.