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求证:(nC0)^2+(nC1)^2+...+(nCn)^2=(2n)!/n!*n!
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求证:(nC0)^2+(nC1)^2+...+(nCn)^2=(2n)!/n!*n!
▼优质解答
答案和解析
(1+x)^(2n)=(1+x)^n*(1+x)^n
=(nC0+nC1x+nC2x^2+…+nCnx^n)*(nC0+nC1x+nC2x^2+…+nCnx^n)
=……+（nC0*nC(n-1)+nC1*nC(n-2)+…nC(n-1)*nC0)x^(n-1)+……
=……+（nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn)x^(n-1)+……
比较等式两边x^(n-1)项的系数即可得
nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn=（2n）C(n-1)
即nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn==(2n)!/((n-1)!*(n+1)!)
=(nC0+nC1x+nC2x^2+…+nCnx^n)*(nC0+nC1x+nC2x^2+…+nCnx^n)
=……+（nC0*nC(n-1)+nC1*nC(n-2)+…nC(n-1)*nC0)x^(n-1)+……
=……+（nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn)x^(n-1)+……
比较等式两边x^(n-1)项的系数即可得
nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn=（2n）C(n-1)
即nC0*nC1+nC1*nC2+…+nC(n-1)*nCn==(2n)!/((n-1)!*(n+1)!)
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