当n趋近于无穷时:1/n,1-cos(1/n),n^(1/n)-1,1/(n^a)(a为小于1的正数)试把他们按照从高阶到低阶排列求完整过程,重点是n^(1/n)-1

Question

当n趋近于无穷时:1/n,1-cos(1/n),n^(1/n)-1,1/(n^a)(a为小于1的正数)试把他们按照从高阶到低阶排列
求完整过程,重点是n^(1/n)-1

Answer 1

1－cos(1/n)等价于1/2n^2,
n^(1/n)－1＝e^(lnn/n)－1
＝1+lnn/n+小o(lnn/n)－1
等价于lnn/n,因此其阶介于1/n和1/n^a之间.
原因是(lnn/n)/(1/n)＝lnn,极限是正无穷；
(1/n^a)/(lnn/n)＝n^(1－a)/lnn,容易用洛必达法则
验证lim x^(1－a)/lnx＝正无穷,当x趋于正无穷时.
综上知道,阶从高到低为
1－cos(1/n),1/n,n^(1/n)－1,1/n^a.