已知等比数列{an}的公比q>1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{bn}满足：a1b1+a2b2+…+anbn=（n-1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若man≥bn-8恒成立，求实数m的最小值

Question

已知等比数列{a_n}的公比q>1，a₁=1，且a₁，a₃，a₂+14成等差数列，数列{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1，n∈N．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若ma_n≥b_n-8恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

（I）∵数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，
∴a_n=q^n-1，
由a₁，a₃，a₂+14成等差数列，可得2a₃=a₁+a₂+14，
即为2q²=1+q+14，解得q=3（负的舍去），
即有a_n=3^n-1，
∴a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=（n-1）•3ⁿ+1，
∴b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=（n-1-1）•3^n-1+1（n≥2），
两式相减得：3^n-1b_n=（n-1）•3ⁿ-（n-2）•3^n-1=（2n-1）•3^n-1，
∴b_n=2n-1，
当n=1时，a₁b₁=1，
即b₁=1满足上式，
∴数列{b_n}的通项公式是b_n=2n-1；
（2）若ma_n≥b_n-8恒成立，即为m≥(2n-9)/(3n-1)的最大值，
由c_n=(2n-9)/(3n-1)，n≥2时，c_n-1=(2n-11)/(3n-2)，
c_n-c_n-1=(2n-9)/(3n-1)-(2n-11)/(3n-2)=(24-4n)/(3n-1)，
可得n=2，3，…，6时，c_n≥c_n-1；n=7，…时，c_n<c_n-1．
即有n=5或6时，c_n取得最大值，且为(1)/(81)，
即为m≥(1)/(81)，可得m的最小值为(1)/(81)．