利用微分求数列和：求和式n^2*x^n?

Question

利用微分求数列和：求和式n^2*x^n?

Answer 1

方法就是求两次积分消去n^2系数,再求两次导得回原函数值.
f(x)=x+2^2x^2+...+n^2x^n
f(x)/x=1+2^2x+...+n^2x^(n-1)
对f(x)/x积分得：g(x)=C+x+2x^2+3x^3+...+nx^n
g(x)/x=c/x+1+2x+3x^2+..+nx^(n-1)
对g(x)/x再积分得：
h(x)=d+1+clnx+x+x^2+x^3+...+x^n=d+clnx+[x^(n+1)-1]/(x-1)
导数得：g(x)/x=c/x+[(n+1)x^n(x-1)-x^(n+1)+1]/(x-1)^2
g(x)=c+x[(n+1)x^n(x-1)-x^(n+1)+1]/(x-1)^2
再对g(x)求导即得：f(x)/x=g'(x)
f(x)=xg'(x)