求幂级数∞n＝0(n+1)(n+3)xn的收敛域和函数．

Question

求幂级数

∞

n＝0

(n+1)(n+3)xn的收敛域和函数．

Answer 1

由于

lim

n→∞

|(an+1)/(an)|＝1，所以得到收敛半径R=1，
当x=±1时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为（-1，1）．
令和函数S（x）=

∞

n＝0

(n+1)(n+3)xn，
则：
S（x）=

∞

n＝0

(n+1)(n+3)xn=

∞

n＝0

(n+1)[(n+2)+1]xn=

∞

n＝0

(n+2)(n+1)xn+

∞

n＝1

(n+1)xn
=(

∞

n＝0

xn+2)″+(

∞

n＝0

xn+1)′=((x2)/(1−x))″+((x)/(1−x))′
=(2)/((1−x)3)+(1)/((1−x)2)=(3−x)/((1−x)3)．