一道{高中}數學題有n个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等,都是3k次,其中k是自然数,求n的所有可能值

Question

一道{高中}數學題
有n个人,已知他们中的任意两人至多通电话一次,他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等,都是3 k次,其中k是自然数,求n的所有可能值

Answer 1

设Ai通话的次数为mi,Ai与Ai之间通话的次数为λi,j ,1 i,j n.则 mi + mj –λi,j = ms – 3k =c .(*)……（10分） 其中c是常数,1 i,j n.根据(*)知,|mi - mj|=|( mi+ ms )-( mj+ms)|=|λi,s-λj,s| 1,| mi - mj | 1,1 i,j n.设mi = max{ms,1 i,j n.},mj = min{ms,1 i,j n.},则mi - mj 1.…………（30分） 若mi - mj =1,则对于任意 s≠i ,j ,1 s n,都有(mi + ms –λi,s)– (mj + ms–λj,s)=1–(λi,s–λj,s)≡0,即λi,s –λj,s≡1.故λi,s≡1,λj,s≡0.s≠i,j,1 s n,因此,mi n-2,mj 1.于是,mi - mj n-3 2.出现矛盾,故mi - mj=0,即ms (1 s n) 恒为常数.根据(*)知,λi,j≡0,λi,j≡1.若λi,j≡0,则ms≡0,1 s n.与已知矛盾.因此,λi,j≡1 ms≡n-1,1 s n.所以 n(n-1)-(2n-3)=3k,即 (n-2)(n-3)=2×3k 设n-2= ,n-3=2× ,k1 k2,则 2× - =1,于是 (2× - 1)=1,得 =1,2× - 1=1,因此k1=0,k2=0.这与k 1矛盾.设n-2= ,n-3=2× ,k1 k2+1,则 -2× =1,于是 ( -2)=1,得 =1,- 2=1,因此k2=0,k1=1,n=5.此时,若5个人中每两个人之间都通知一次,则其中任意3个人之间的总通知次数为31次.综上所述,n=5为n的所有可能的值.