已知数列{an}满足（n-1）an+1=（n+1）（an-1）且a2=6，求{an}通项公式．

Question

已知数列{a_n}满足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）且a₂=6，求{a_n}通项公式．

Answer 1

∵（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）
∴两边同除以n整理得，(an+1)/(n(n+1))-(an)/(n(n−1))=−(1)/(n(n−1))，
令b_n=(an)/(n(n−1))，则b_n+1-b_n=(1)/(n)-(1)/(n−1)，
∴b₃-b₂=(1)/(2)−1，
b₄-b₃=(1)/(3)−(1)/(2)，
b₅-b₄=(1)/(4)−(1)/(3)，
…
b_n-b_n-1=(1)/(n−1)-(1)/(n−2)（n≥3）
上式累加得，b_n-b₂=(1)/(n−1)-1=(2−n)/(n−1)，
又b₂=(a2)/(2×(2−1))=3，
∴b_n=(2−n)/(n−1)+3=(2n−1)/(n−1)（n≥3）
∴a_n=n（n-1）b_n=n（2n-1）（n≥3），
又由（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）得a₁=1，a₂=6，对a_n=n（2n-1）也成立，
∴a_n=n（2n-1）=2n²-n．