若m为正整数,试说明＜x+m＞=＜x＞+m恒成立

Question

若m为正整数,试说明＜x+m＞=＜x＞+m恒成立

Answer 1

说明：设x=n+a,其中n为x的整数部分（n为非负整数）,a为x的小数部分 （0≤a＜1）．分两种情况：（Ⅰ）当0≤a＜1/2 时,有{x}=n∵x+m=（n+m）+a,这时（n+m）为（x+m）的整数部分,a为（x+m）的小数部分,∴{x+m}=n+m又∵{x}+m=n+m∴{x+m}={x}+m．（Ⅱ）当1/2 ≤a＜1时,有{x}=n+1∵x+m=（n+m）+a这时（n+m）为（x+m）的整数部分,a为（x+m）的小数部分,∴{x+m}=n+m+1又∵{x}+m=n+1+m=n+m+1∴{x+m}={x}+m．综上所述：{x+m}={x}+m．