已知函数f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当m=2时，f（x）=2lnx+x．f′(x)＝(2)/(x)+1＝(x+2)/(x)．
所以f'（1）=3．
又f（1）=1，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝(m)/(x)+m−1＝((m−1)x+m)/(x)．
当m≤0时，由x＞0知f′(x)＝(m)/(x)+m−1＜0恒成立，
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当m≥1时，由x＞0知f′(x)＝(m)/(x)+m−1＞0恒成立，
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜(m)/(1−m)，由f'（x）＜0，得x＞(m)/(1−m)，
此时f（x）在区间(0，(m)/(1−m))内单调递增，在区间((m)/(1−m)，+∞)内单调递减．
（ III）由（Ⅱ）知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m≤0或m≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调，此时函数f（x）无最大值．
当0＜m＜1时，f（x）在区间(0，(m)/(1−m))内单调递增，在区间((m)/(1−m)，+∞)内单调递减，
所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M＝f((m)/(1−m))＝mln(m)/(1−m)−m．
因为M＞0，所以有mln(m)/(1−m)−m＞0，解之得m＞(e)/(1+e)．
所以m的取值范围是((e)/(1+e)，1)．