如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B（都可视为质点）静止在光滑水平面内的x轴上，它们的位置坐标分别为x=0和x=l．现沿x轴方向加一个力场，该力场只对小球A产生沿x轴正方向大小

Question

如图所示，质量均为m大小相同的小球A、B（都可视为质点）静止在光滑水平面内的x轴上，它们的位置坐标分别为x=0和x=l．现沿x轴方向加一个力场，该力场只对小球A产生沿x轴正方向大小为F的恒力，以后两小球发生正碰过程时间很短，不计它们碰撞过程的动能损失．



（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是多少？
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），求满足下列条件的L值
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞．

Answer 1

（1）A第一次碰前速度设为v ₀
动能定理： Fl=(1)/(2) m

v

20

-0
A与B碰撞，动量守恒，
则 m v 0 =m v A ′ +m v B ′
根据题意，总能量不损失，
则 (1)/(2) m v 0 2 =(1)/(2) m v A   2 +(1)/(2) m v B   2
联立解得 v A ′ =0， v B ′ = v 0 =

(2Fl)/(m)

（2）①对质点A：
第一次碰前：v ₀ =at ₀
l=(1)/(2) a t 0 2
第一次碰后到第二次碰前过程：
第二次碰前速度 v _A1 =at ₁
s A1 =(1)/(2) a t 1 2
对质点B：
第一次碰后到第二次碰前过程：s _B1 =v ₀ t ₁
由于s _A1 =s _B2
解得：t ₁ =2t ₀ ，v _A1 =2v ₀ ，s _A1 =s _B1 =4l
则要使质点A、B刚好能够发生两次碰撞，L=l+4l=5l
②质点A、B第二次碰前速度分别为2v ₀ 、v ₀ ，碰后速度分别设为v″ _A 和v″ _B
动量守恒：m•2v ₀ +mv ₀ =mv″ _A +mv″ _B
能量关系： (1)/(2) m ( 2v 0 ) 2 + (1)/(2) m

v

20

= (1)/(2) m

v″

2A

+ (1)/(2) m

v″

2B

解得：v″ _A =v ₀ ，v″ _B =2v ₀
对质点A：
第二次碰后到第三次碰前：v _A2 =v ₀ +at ₂
s A2 = v 0 t+(1)/(2) a t 2 2
对质点B：
第二次碰后到第三次碰前：s _B2 =2v ₀ t ₂
由于s _A2 =s _B2
解得：t ₂ =2t ₀ ，v _A2 =3v ₀ ，s _A2 =s _B2 =8l
综上，质点A、B每次碰撞过程总是要交换速度；每次碰撞间隔时间都为2t ₀ ；
每次碰撞后的相同时间间隔内，质点A速度增加2v ₀ ，质点B速度不变
可得：每次碰撞位置间隔：4l、8l、12l…（n-1）4l
则要使质点A、B刚好能够发生n次碰撞：L=l+4l+8l+12l+…+（n-1）l=（2n ² -2n+1）l（n=1，2，3…）        
答：（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是 v A ′ =0， v B ′ =

(2Fl)/(m)

．
（2）如果该力场的空间范围是0≤x≤L（L＞l），
①小球A、B刚好能够发生两次碰撞，L=5l；
②小球A、B刚好能够发生n次碰撞L=（2n ² -2n+1）l（n=1，2，3…）．