x*(sinx)^m在(0,π)的不定积分其中m为自然数

Question

x*(sinx)^m在(0,π)的不定积分其中m为自然数

Answer 1

x*(sinx)^m在(0,π)的【定积分】其中m为自然数：
令：x=π-t
∫(0,π) xsin^mxdx
=∫(π,0) (π-t)sin^m(π-t)d(π-t)
=∫(0,π) πsin^mtdt -∫(0,π) tsin^mtdt
= π∫(0,π) sin^mtdt -∫(0,π) xsin^mxdx
【此项左移】
= π/2∫(0,π) sin^mtdt
= π/2∫(0,π/2) sin^mtdt + π/2∫(π/2,π) sin^mtdt
令：x=π-t
= π/2∫(0,π/2) sin^mtdt + π/2∫(0,π/2) sin^mxdx
= π∫(0,π/2) sin^mxdx
① = π[(m-1)!/m!] m为奇数；
② = π²/2 [(m-1)!/m!] m为偶数.