设f（x）在（-∞，+∞）内连续可导，且m≤f（x）≤M，a＞0．（1）求limt→a+14a2∫a−a[f(t+a)−f(t−a)]dt；（2）求证：|12a∫a−af(t)dt-f（x）|≤M-m．

Question

设f（x）在（-∞，+∞）内连续可导，且m≤f（x）≤M，a＞0．
（1）求

lim

t→a+

(1)/(4a2)

∫

a −a

[f(t+a)−f(t−a)]dt；
（2）求证：|(1)/(2a)

∫

a −a

f(t)dt-f（x）|≤M-m．

Answer 1

（1）
由于函数f（x）在（-∞，+∞）连续可导，
所以：

lim

t→a+

(1)/(4a2)

∫

a −a

[f(t+a)−f(t−a)]dt=

∫

a −a

lim

t→a+

(1)/(4a2)[f(t+a)−f(t−a)]dt
=

∫

a −a

lim

t→a+

[(1)/(2a)•(f(t+a)−f(t−a))/(2a)]dt
=

∫

a −a

(1)/(2a)

lim

t→a+

(f(t+a)−f(t−a))/(2a)dt
=

(1)/(2a)∫

a −a

(f′(a))/(2a)dt
=(f(a))/(4a2)，

证明：
（2）
由于：

∫

a −a

f(t)dt＝f(ξ)2a，ξ∈（-a，a），
∴|(1)/(2a)

∫

a −a

f(t)dt−f(x)|＝|f(ξ)−f(x)|，
又：m≤f（x）≤M，
∴f（ξ）≤M，-f（x）≤-m，
∴|(1)/(2a)

∫

a −a

f(t)dt−f(x)|≤M−m，证毕．