∫（0到X）f（X-1）e^-tdt=X^2,求f（X）

Question

∫（0到X）f（X-1）e^-tdt=X^2,求f（X）

Answer 1

首先注意,左边的积分未知数是t,所以f（X-1）作为常数提出来得到f(x-1)∫ [0--->x] e^(-t) dt = x²,然后算出∫ [0--->x] e^(-t) dt 的结果为e^(-x)-1,所以原式化为f(x-1)(e^(-x)-1)=x²,所以f(x-1)=x²/(e^(-x)-1),再令x-1=u,则x=u+1所以f(u)=(u+1)²/(e^(-u-1)-1),即f(x)=(x+1)²/(e^(-x-1)-1) .
详细步骤：∫ [0--->x] f(x-1)e^(-t) dt = x² 化为：f(x-1)∫ [0--->x] e^(-t) dt = x²,
则f(x-1)e^(-t) |[0--->x] =x²
f(x-1)(e^(-x)-1)=x²
f(x-1)=x²/(e^(-x)-1)
令x-1=u,则x=u+1
f(u)=(u+1)²/(e^(-u-1)-1)
则,f(x)=(x+1)²/(e^(-x-1)-1