设函数f(x)在(a,+∞)上可导,limf'(x)=0,求证:limf(x)/x=0不要使用罗比达定理,用拉格朗日中值定理证明.如果回答正确小弟会额外给50分

Question

设函数f(x)在(a,+∞)上可导,limf'(x)=0,求证:limf(x)/x=0
不要使用罗比达定理,用拉格朗日中值定理证明.
如果回答正确小弟会额外给50分

Answer 1

对任意的ε>0,存在X>a,当x>X1时,|f′(x))X1,则存在X2>X1,当x>X2时,|f(c)|/xX2时,有
|f(x)/x|=|{f(x)-f(c)}/x+f(c)/x|≤|{f(x)-f(c)}/x|+|f(c)/x|
≤|{[f(x)-f(c)]/(x-c)}|+|f(c)/x|
= |f′(ξ)| +|f(c)/x|
≤ε/2+ε/2=ε
所以lim f(x)/x=0