已知f（x）=x/x+1,若a＞b＞0,c=1/（a-b）b,求证：f（a）+f（c）＞3/4

Question

已知f（x）=x/x+1,若a＞b＞0,c=1/（a-b）b,求证：f（a）+f（c）＞3/4

Answer 1

证明：
∵a>b>0 c=1/(a-b)b
∴a+c=a+1/(a-b)b=(a-b)+b+1/(a-b)b≥3³√[(a-b)*b*1/(a-b)b]=3 （均值不等式）
∵f（x）=x/x+1在（0,+∞）单调递增
∴f(a+c)≥f(3)=3/4
∵f(a+c)=(a+c)/(a+c+1)
∴f(a)+f(c)=a/(a+1)+c/(c+1)
>a/(a+c+1)+c/(a+c+1)
=(a+c)/(a+c+1)
=f(a+c)
即f(a)+f(c)>f(a+c)≥3/4
∴f(a)+f(c)>3/4